Если число де­лит­ся на 44, то оно де­лит­ся на 4 и на 11. По­сколь­ку число де­лит­ся на 4 и две по­след­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 1, число долж­но за­кан­чи­вать­ся на 12, 32, 56, 76.

Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если мо­дуль раз­но­сти сумм цифр, сто­я­щих на чётных и нечётных ме­стах, де­лит­ся на 11. В нашем слу­чае  — если де­лит­ся 11.

Но мо­дуль равен 1, мо­дуль равен 1, а зна­чит, при­ни­ма­ет зна­че­ния Из них де­лит­ся на 11 толь­ко число 0. Зна­чит, Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции цифр, чтобы сумма цифр чётных раз­ря­дов была равна сумме цифр нечётных раз­ря­дов, и при этом эти цифры не долж­ны от­ли­чать­ся друг от друга более чем на 1.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 1012, 3432, 5456, 3212, 1232, 5676, 7876, 7656.

Ответ: 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

При­ме­ча­ние.

Усло­вие «любые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 1» озна­ча­ет, что каж­дые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 1, по­это­му числа 4356, 3476, 4576 не под­хо­дят, по­сколь­ку вто­рая и тре­тья цифры в них раз­ли­ча­ют­ся более чем на 1.

Число де­лит­ся на 15, когда оно де­лит­ся на 3 и на 5. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). Сумма цифр долж­на де­лит­ся на 3, сле­до­ва­тель­но, при сло­же­нии цифр долж­ны по­лу­чит­ся числа 3, 9, 12, и так далее.

Если сумма цифр равна 3, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной «трой­кой» и че­тырь­мя «ну­ля­ми» (число 30000) или тремя «еди­ни­ца­ми» и «ну­ля­ми» (на­при­мер, число 11100), или одной «двой­кой», одной «еди­ни­цей» и тремя «ну­ля­ми» (на­при­мер, число 21000). Но во всех этих чис­лах не вы­пол­ня­ет­ся усло­вие, что со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3.

Если сумма цифр равна 9, то число за­пи­сы­ва­ет­ся тремя трой­ка­ми и двумя ну­ля­ми или двумя четвёрками и одной еди­ни­ца­ей (это числа 30303, 33300, 30330, 41400, 41040, 14040, ...). В этом слу­чае не вы­пол­ня­ет­ся усло­вие за­да­ния и при­знак.

Если сумма цифр равна 12, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной шестёркой, двумя трой­ка­ми и двумя ну­ля­ми. По­сколь­ку число не может на­чи­нать­ся с нуля, но долж­но за­кан­чи­вать­ся на него, а со­сед­ние цифры от­ли­чать­ся друг от друга на 3 сле­ду­ет, что ис­ко­мое числа это 63030, 69630, 63630

Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 25  — число де­лит­ся на 25, если оно за­кан­чи­ва­ет­ся на ком­би­на­ции цифр: 00, 25, 50, 75. Из при­зна­ка сле­ду­ет, что наше число за­кан­чи­ва­ет­ся на 75, так как раз­ность этих чисел равна 2. Также ясно, что число не может на­чи­нать­ся с нуля. Наше число при­ни­ма­ет вид 1ab75, где ис­хо­дя из усло­вия ста­но­вит­ся по­нят­но, что a  — 3, тогда b  — 5. За­пи­шем ис­ко­мые числа 13575, 53575, 57575, 97575, 57975, 97975.

Если число де­лит­ся на 22, то оно де­лит­ся на 2 и на 11. Если число де­лит­ся на 2, то оно может окан­чи­вать­ся на 0 , 2, 4, 6, 8. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр на нечётных ме­стах равна сумме цифр на чётных ме­стах: Если любые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 2, то число со­сто­ит толь­ко из чет­ных цифр. Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма трех цифр была равна сумме двух цифр, и при этом эти цифры не долж­ны от­ли­чать­ся друг от друга более, чем на 2.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 46 464, 46 420, 42 020.

Ответ: 46 464, или 46 420, или 42 020.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 4, кроме того, оно долж­но быть чет­ным. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но за­кан­чи­вать­ся на 20, 24, 64 или 68 с уче­том раз­ни­цы двух со­сед­них цифр на две. Пусть число имеет вид Если любые две со­сед­ние цифры долж­ны от­ли­чать­ся на 2, то число со­сто­ит толь­ко из чет­ных цифр. Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма всех пяти цифр де­ли­лась на 3.

Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся 42 024, 46 464, 42 420, 42 468, 86 424, 86 868.

Ответ: 42 024, или 46 464, или 42 420, или 42 468, или 86 424, или 86 868.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся на 9 и на 2. Если число де­лит­ся на 2, то оно окан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. То есть число долж­но окан­чи­вать­ся на 30, 36, 96, а зна­чит, это одно из чисел 63030, 63630, 69630, 63036, 63636, 69636, 63696, 69696. Оста­лось вы­брать из них те, ко­то­рые крат­ны 18. Для этого до­ста­точ­но вы­брать те числа, сумма всех пяти цифр ко­то­рых де­лит­ся на 9. Это числа: 63630, 63036, 69696.

Ответ: 63036, 63630, 69696.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 4 и на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми долж­на де­лить­ся на 4. Пе­ре­би­ра­ем пред­по­след­нюю цифру, по­лу­ча­ем две по­след­ние цифры с уче­том от­ли­чия двух со­сед­них цифр на три: 14, 25, 30, 36, 41, 47, 52, 55, 63, 69, 74, 85, 96. Из по­лу­чен­ных чисел крат­ны че­ты­рем толь­ко 36, 52, 96. Пусть число имеет вид Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такие ком­би­на­ции чет­ных цифр, чтобы сумма всех пяти цифр де­ли­лась на 3. Та­ки­ми чис­ла­ми яв­ля­ют­ся

63036, 63636, 69636, 25252, 85252, 25852, 85852, 63696, 69696. Из них крат­ны трем толь­ко 63036, 63636, 69636, 63696, 69696.

Ответ: 63036, 63636, 63696, 69636, 69636, 69696.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что фраза «любые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3» озна­ча­ет, что каж­дые две со­сед­ние цифры от­ли­ча­ют­ся на 3, то есть раз­ни­ца между пер­вой и вто­рой, вто­рой и тре­тьей, тре­тьей и чет­вер­той, чет­вер­той и пятой циф­ра­ми долж­на быть равна трем.

Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся на 9 и на 2. Если число де­лит­ся на 2, то оно окан­чи­ва­ет­ся чет­ной циф­рой. Сле­до­ва­тель­но, число долж­но окан­чи­вать­ся на 20, 24, 42, 46, 64 или 68. Также, по­сколь­ку число де­лит­ся на 9, сумма цифр этого числа также долж­на де­лить­ся на 9. Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа суть 24 246, 24 642, 64 242, 86 868.

Ответ: 24 246, 24 642, 64 242, 86 868.